Ukur Lilit dan Luas Bulatan Menggunakan Trigonometri dan Konsep Limit

Disamping segi empat dan segi tiga, bulatan juga antara bentuk yang banyak aplikasinya dalam kehidupan seharian. Bentuknya yang simetri dari segala sudut menjadikannya bentuk yang versatil.

Sumbangan utamanya adalah pada bagaimana ia mengubah corak pengangkutan manusia. Tak ada bulatan, tak ada lah roda. Bayangkan motosikal dengan tayar berbentuk segi empat.

Bayangkan dunia tanpa bulatan, bagaimana agaknya bumi, bulan, matahari, buah-buahan, dan mata hitam kita, walaupun semuanya bukanlah bulatan dari sudut pandang kesempurnaan bentuknya; akan kelihatan?

Dari segi matematik, sebuah bulatan ialah himpunan titik, dipanggil lokus; pada permukaan rata, dipanggil satah; semuanya mempunyai jarak, \(r\) yang sama dari sebuah titik permulaan, \(o\). Titik permulaan ditakrifkan sebagai titik tengah bulatan, jarak pula sebagai jejari atau radius.

Panjang sisinya pula, atau lebih tepat lagi ukur lilit atau circumference; ialah \(2\pi\) bagi sebuah bulatan dengan radius 1 unit. Sehingga kini nilai sebenar \(\pi\) masih belum dijumpai, yang ada cumalah anggaran bagi nilai tersebut.

Usaha mencari nilai sebenar \(\pi\) berakhir pada tahun 1760 apabila Johann Heinrich Lambert membuktikan bahawa \(\pi\) ialah nombor tak rasional atau bukan nisbah. Jadi, apa yang kita ada sekarang hanyalah anggaran kepada nilai sebenar — mencari nilai sebenar adalah mustahil.

Sebagai nombor bukan nisbah, angka bagi \(\pi\) tak berulang, tak boleh ditulis dalam bentuk pecahan, dan bilangan digitnya ialah infiniti. Dalam banyak perkara, kurang daripada 100 digit nilai \(\pi\) sudah memadai. Namun, ia tak menghalang manusia daripada menganggarkan nilai \(\pi\) melangkaui 100 trilion digit.

Mengabaikan ketepatan, anggaran \(\pi\) seperti \(\frac{22}{7}\) dan 3.142 sering digunakan. Namun, nilai 3.142 lebih tepat berbanding \(\frac{22}{7}\), tambah pula \(\frac{22}{7}>3.142>\pi\). Untuk kiraan yang lebih tepat, lebih banyak digit diperlukan. Jika dibundarkan kepada sepuluh titik perpuluhan terdekat, kita akan dapat \(\pi\approx 3.1415926536\).

Dari mata kasar, bulatan bagaikan bentuk dengan hanya satu sisi. Lagipun, di pertemuan antara dua sisi mestilah wujud bucu. Jadi kenapa ia tak dipanggil segi satu? Sebab untuk menyatakan bahawa bulatan mempunyai satu sisi adalah kurang tepat.

Jika sisi dalam geometri Euclid didefinisikan sebagai garis lurus yang menghubungkan antara dua titik, di manakah garis lurus tersebut? Dan di mana pula terletak titik mula dan hujungnya?

Jadi dalam hal ni, bulatan tidak mempunyai sisi. Melainkan jika sisi didefinisikan hanya sebagai garis, baik lurus atau melengkung; makanya bulatan mempunyai satu sisi yang menghubungkan dua titik yang sama.

Ataupun bulatan mempunyai sisi dan bucu yang terlampau banyak sehinggakan tak kelihatan dari mata kasar? Tambah pula, bulatan terdiri daripada himpunan titik yang banyak, sudah tentu di antara dua titik paling hampir kita boleh wujudkan sisi.

Cara kita menjawab persoalan berkenaan sisi bulatan memberi kesan terhadap cara kita mengukur panjang ukur lilit dan luas bulatan tersebut.

Dalam sebuah bulatan beradius \(r\), kita sentiasa boleh memuatkan sebuah poligon dengan '\(n\)' sisi yang bucunya bersudut \(180^\circ\times\frac{(n-2)}{n}\), dan panjang antara titik tengah dan setiap bucunya pula ialah \(r\). Ingat, dalam unit radian \(360^\circ\) bersamaan dengan \(2\pi\).

Menggunakan poligon, kita boleh menganggarkan bukan sahaja ukur lilit, malah juga luas bulatan beradius \(r\) tadi. Caranya ialah dengan membahagian poligon kepada beberapa bentuk segi tiga sama kaki.

Sebagai contoh, sebuah segi empat sama boleh dipecahkan kepada empat buah segi tiga sama kaki dengan panjang "kaki" atau sisinya bersamaan \(r\) unit, dan sudut berhampiran titik tengah bulatannya pula \(\frac{360^\circ}{n}\). Setiap segi tiga ini pula boleh dipecahkan kepada dua segi tiga bersudut tegak.

Menggunakan ilmu trigonometri, daripada \(\sin(\frac{2\pi}{8})=\frac{\frac{1}{2} Tapak}{r}\) kita akan dapati panjang tapak kepada segi tiga sama kaki tadi ialah \(2r \sin(\frac{2\pi}{8})\). Bermakna, perimeter segi empat sama tadi bersamaan dengan \(4\cdot 2r \sin(\frac{2\pi}{8})=8r\sin(\frac{2\pi}{8})\).

Jika kiraan yang sama diulang untuk poligon dengan '\(n\)' bilangan sisi yang sama panjangnya, kita boleh pecahkan kepada '\(n\)' buah segi tiga sama kaki. Panjang tapaknya ialah \(2r \sin(\frac{2\pi}{2n})\), menjadikan perimeter poligonnya \(2nr \sin(\frac{2\pi}{2n})\).

Menggunakan kalkulator, kita akan dapat nilai dibawah (selepas dibundarkan kepada 7 angka bererti):

Nampaknya, semakin tinggi bilangan sisi poligon, semakin tinggi nilai perimeter. Cumanya, selepas daripada 1000 sisi, perubahan pada perimeternya semakin berkurangan. Kalau dilihat perimeter antara poligon 10000 dan 100000 sisi, perbezaannya kurang daripada 0.000001 unit.

Bahkan, kalau diteruskan lagi kiraan untuk poligon dengan sisi melebihi 100000, kita akan dapat nilai yang sama selepas dibundarkan kepada 7 angka bererti. Lebih menarik lagi, semakin banyak sisi poligon tersebut, semakin bentuknya menghampiri sebuah bulatan.

Nilai 6.283185 yang kita dapat dari kiraan tadi ialah nilai kepada \(2\pi\) selepas dibundarkan kepada 7 angka bererti. Jadi, dapat kita simpulkan bahawa perimeter poligon dengan sisi \(n\) semakin menghampiri nilai \(2\pi r\) apabila \(n\) semakin bertambah.

Nilai \(2\pi r\) itulah panjang ukur lilit kepada bulatan beradius \(r\).

Mungkin ada yang beranggapan kesimpulan yang dilakukan tadi hanyalah satu andaian, sebab masih ada kemungkinan secara tiba-tiba nilainya berkurangan apabila nilai \(n\) cukup besar. Lagipun nilai \(\sin(\frac{\pi}{n})\) semakin menghampiri 0 apabila \(n\) semakin besar.

Dalam hal ni, kita boleh gunakan konsep limit untuk mencari nilai \(2nr \sin(\frac{\pi}{n})\) apabila \(n\) menghampiri infiniti. Menggunakan L'Hopital's rule, kita akan dapat \[ \begin{align*} \lim_{n\rightarrow\infty}2nr \sin\left(\frac{\pi}{n}\right)&=2r\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sin(\frac{\pi}{n})}{1/n}\\ &=2r\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{\cos(\frac{\pi}{n})}{1/n^2}\frac{\pi}{n^2}\right)\\ &=2\pi r \lim_{n\rightarrow\infty} \cos\left(\frac{\pi}{n}\right)\\ &=2\pi r, \end{align*} \] nilai yang sama.

Menggunakan ilmu trigonometri yang sama, segi tiga sama kaki yang sama, kita juga boleh mencari luas kepada bulatan beradius \(r\). Ingat, tapak kepada segi tiga sama kaki tadi ialah \(2r \sin(\frac{2\pi}{2n})\).

Untuk mencari luas, kita perlukan tingginya. Menggunakan \(\cos(\frac{2\pi}{2n})=\frac{Tinggi}{r}\), kita akan dapat tingginya bersamaan \(r\cos(\frac{2\pi}{2n})\) unit. Jadinya, luas segi tiga tadi bersamaan dengan \(r^2\sin(\frac{\pi}{n})\cos(\frac{\pi}{n})\).

Maksudnya, luas untuk poligon dengan \(n\) bilangan sisi ialah \(nr^2\sin(\frac{\pi}{n})\cos(\frac{\pi}{n})\). Identiti trigonometri menunjukkan \[nr^2\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)\cos\left(\frac{\pi}{n}\right)=\frac{nr^2}{2}\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right).\]

Kalau kita gunakan kalkulator dan sediakan jadual yang sama seperti di Jadual 1, kita akan peroleh

Lihat, semakin tinggi bilangan sisi \(n\), luas poligon semakin menghampiri nilai \(\pi r^2\).

Menggunakan limit dan L'Hopital's rule pula kita akan dapat \[ \begin{align*} \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{nr^2}{2}\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)&=\frac{r^2}{2}\lim_{n\rightarrow\infty}n\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)\\ &=\frac{r^2}{2}\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{\cos(\frac{2\pi}{n})}{1/n^2}\frac{2\pi}{n^2}\right)\\ &=\pi r^2\lim_{n\rightarrow\infty}\cos\left(\frac{2\pi}{n}\right)\\ &=\pi r^2, \end{align*} \] nilai yang sama.

Ringkasnya, rumus atau formula bagi ukur lilit dan luas bulatan masing-masing ialah \[\text{Ukur Lilit Bulatan} = 2\pi r\] dan \[\text{Luas Bulatan} = \pi r^2.\] Kedua-dua rumus ni, seperti yang kita tengok tadi; boleh dicari menggunakan poligon, trigonometri, dan konsep limit.

Jadi, adakah bulatan mempunyai sifar, satu, atau infiniti bilangan sisi? Ia bergantung pada bagaimana kita mendefinisikan sisi. Kalau sisi didefinisikan sebagai garis lurus yang menyambungkan antara dua titik, bulatan tidak mempunyai sisi.

Walaupun ia terdiri daripada himpunan titik yang banyak, titiknya terlalu banyak sehinggakan tiada ruang untuk memuatkan sebarang garis di antara dua titik bersebelahan. Inilah yang membezakan antara bulatan dan poligon.

Dari definisi sebuah bulatan, di antara dua titik kita akan sentiasa ada satu titik yang jaraknya dengan kedua-dua titik tadi lebih kecil berbanding jarak di antara kedua-dua titik tadi. Mencari dua titik bersebelahan adalah mustahil, apatah lagi mencari garis antara kedua titik tersebut.

Di sini kita perlu jelas, sebanyak mana pun bilangan sisi kepada poligon tadi ia tidak akan sama dengan sebuah bulatan. Konsep limit hanya menunjukkan poligon tadi akan menghampiri, bukannya menjadi; bentuk bulatan apabila bilangan sisinya menghampiri infiniti.